Question

16．已知△ABC的面積為1，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a²+2bc的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，又$\frac{1}{2}bcsinA$=1，利用基本不等式的性質(zhì)可得：a²+2bc=b²+c²-2bccosA+2bc≥4bc-2bccosA=4×$\frac{2-cosA}{sinA}$．令f（A）=$\frac{2-cosA}{sinA}$，A∈（0，π）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答 解：由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
又$\frac{1}{2}bcsinA$=1，
∴a²+2bc=b²+c²-2bccosA+2bc≥4bc-2bccosA=$\frac{2}{sinA}$（4-2cosA）=4×$\frac{2-cosA}{sinA}$．
令f（A）=$\frac{2-cosA}{sinA}$，A∈（0，π）．
∴f′（A）=$\frac{si{n}^{2}A-2cosA+co{s}^{2}A}{si{n}^{2}A}$=$\frac{1-2cosA}{si{n}^{2}A}$，
當(dāng)$-1＜cosA＜\frac{1}{2}$時(shí)，f′（A）＞0，此時(shí)函數(shù)f（A）單調(diào)遞增；當(dāng)$\frac{1}{2}＜cosA＜1$時(shí)，f′（A）＜0，此時(shí)函數(shù)f（A）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)cosA=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（A）取得最大值，∴a²+2bc≥$4×\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故a²+2bc的最小值為4$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．