Question

5．底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB=4，∠ABD=30°，∠BAD=60°，AC∩BD=0，PO⊥面ABCD．
（1）求證AD⊥PB；
（2）Q為邊BC上的任意一點(diǎn)，若PQ與面PBD所成的最大角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知可求得∠ADB=90°，即BD⊥AD，再由PO⊥面ABCD，得PO⊥AD，然后利用線面垂直的判斷得到AD⊥面PBD，則答案得證；
（2）由（1）中的證明可得CB⊥面PBD，從而得到PQ與面PBD所成的最大角為∠CPB，結(jié)合已知即可求得四棱錐P-ABCD的高PO，代入體積公式求得體積．

解答 （1）證明：如圖，
由已知∠ABD=30°，∠BAD=60°，得∠ADB=90°，即BD⊥AD，
又∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥AD，
∵PO∩BD=O，∴AD⊥面PBD，
又PB?面PBD，∴AD⊥PB；
（2）解：∵BC∥AD，AD⊥面PBD，∴CB⊥面PBD，
∴PQ與面PBD所成的角即∠QPB，最大時(shí)為∠CPB．
由已知，∠CPB=45°，AB=4，BC=2，OB=$\sqrt{3}$，
在△PBC中，∠CBP=90°，PB=BC=2，
在△PBO中，∠POB=90°，PO=1，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PO=\frac{1}{3}×2×2\sqrt{3}×1=\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．