Question

已知長(zhǎng)方體AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，連接B₁C，過(guò)B點(diǎn)作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證：A₁C⊥平面EBD；
（2）求點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離；
（3）求平面A₁B₁C與直線DE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出與，然后根據(jù)向量的數(shù)量積判定垂直關(guān)系，A₁C⊥BD，A₁C⊥BE，又BD∩BE=B滿足線面垂直的判定定理所需條件；
（2）連接AE₁，A到平面A₁B₁C的距離，即三棱錐A-A₁B₁C的高，根據(jù)等體積法可知，求出高即可；
（3）連接DF，根據(jù)BE⊥平面A₁B₁C，可知DF是DE在平面A₁B₁C上的射影，從而∠EDF是DE與平面A₁B₁C所成的角，最后在Rt△FDE中，求出此角的正弦值即可．
解答：解：（1）證明：以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A₁（0，0，2）、B₁（1，0，2）、C₁（1，1，2）、D₁（0，1，2），，，…（2分）
設(shè)E（1，1，z），則：，，
∵BE⊥B₁C∴，，∴，，
∵，，∴A₁C⊥BD，A₁C⊥BE，…（4分）
又BD∩BE=B∴A₁C⊥平面EBD．…（5分）
（2）連接AE₁，A到平面A₁B₁C的距離，即三棱錐A-A₁B₁C的高，設(shè)為h，…（6分）
，，由得：，，…（8分）
∴點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離是．…（9分）
（3）連接DF，∵A₁C⊥BE，B₁C⊥BE，A₁C∩B₁C=C，∴BE⊥平面A₁B₁C，∴DF是DE在平面A₁B₁C上的射影，∠EDF是DE與平面A₁B₁C所成的角，…（11分）
設(shè)F（1，y，z），那么，∵∴y-2z=0①∵，∴z=2-2y②由①、②得，，…（12分）
在Rt△FDE中，．∴，因此，DE與平面A₁B₁C所成的角的正弦值是．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角，以及點(diǎn)面間的距離計(jì)算，屬于中檔題．