Question

如圖，在長(zhǎng)方體A BCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（I）求證：A₁C⊥平面AEF；
（Ⅱ）若AB=4，AD=3，AA₁=5，求平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，得到線面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線線垂直，同理得到另一對(duì)線線垂直，最后得到線面垂直．
（Ⅱ）首先建立空間直角坐標(biāo)系利用線面垂直得到平面的法向量，利用上步的結(jié)論進(jìn)一步得到平面AEF的法向量，最后利用法向量的夾角求出二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在長(zhǎng)方體A BCD-A₁B₁C₁D₁中，
BC⊥平面AA₁B₁B，AE?平面AA₁B₁B
所以：BC⊥AE，
由于AE⊥A₁B
所以：AE⊥平面A₁BC
AE⊥A₁C①
同理：DC⊥平面ADD₁A₁，AF?平面ADD₁A₁，
所以：DC⊥AF
由于：AF⊥A₁D
所以：AF⊥平面A₁CD
AF⊥A₁C②
由①②知：A₁C⊥平面AEF
（Ⅱ）解：分別以AB，AD，AA₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接AC，
由于：AB=4，AD=3，AA₁=5
所以：

AC

=(4，3，0)，

BD

=(-4，3，0)，

DD1

=(0，0，5)
由于：

AC

•

DD1

=0，

AC

•

BD

=0
所以：AC⊥DD₁，AC⊥BD
AC⊥平面DBB₁D₁
所以可以把

AC

看做是平面DBB₁D₁的法向量．
又由于：AC₁⊥平面AEF
所以：

AC1

看做是平面AEF的法向量．

AC1

=(4，3，-5)
設(shè)平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角為θ
則：cosθ=|

AC • A1C

| AC || A1C |

|=

12 2

25

所以：平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的余弦值為

12 2

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：面面垂直與線面垂直間的轉(zhuǎn)化及線面垂直的判定定理，空間直角坐標(biāo)系，法向量，二面角的應(yīng)用，屬于中等題型．