Question

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 方法一：求導(dǎo)，由題意可知g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．則根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的極大值，則g（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$＞0，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
方法二：先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx-ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=ax-1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象．由圖可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：方法一：f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-ax．
令g（x）=lnx+1-ax，
∵函數(shù)ff（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²有兩個(gè)極值點(diǎn)，則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去．
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值．
當(dāng)x趨近于0與x趨近于+∞時(shí)，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則g（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$＞0，解得0＜a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．
故選：D．
方法二：解：由題意，f′（x）=lnx+1-ax，
令f′（x）=lnx-ax+1=0得lnx=ax-1，
函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx-ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）
當(dāng)a=時(shí)，直線y=ax-1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=lnx與y=ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．