Question

已知函數(shù)f（x）=sinx•（2cosx-sinx）+cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)

π

4

＜α＜

π

2

，且f（α）=-

5 2

13

，求sin2α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡解析式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由已知先求得sin(2α+

π

4

)=-

5

13

，即可求得cos(2α+

π

4

)=-

12

13

，由角的關(guān)系從而可求則sin2α的值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ） f（x）=sin2x-sin²x+cos²x=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
故函數(shù)f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由f(α)=-

5 2

13

，即

2

sin(2α+

π

4

)=-

5 2

13

，得sin(2α+

π

4

)=-

5

13

，
因?yàn)?span id="na6o3hi" class="MathJye">

π

4

＜α＜

π

2

，所以

3π

4

＜2α+

π

4

＜

5π

4

，可得cos(2α+

π

4

)=-

12

13

，
則sin2α=sin[(2α+

π

4

)-

π

4

]=

2

2

sin(2α+

π

4

)-

2

2

cos(2α+

π

4

)
=

2

2

×(-

5

13

)-

2

2

×(-

12

13

)=

7 2

26

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識的考查．