【題目】在如圖所示的幾何體中,平面平面,四邊形和四邊形都是正方形,且邊長為,是的中點(diǎn).
(1)求證:直線平面;
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)連結(jié)交于,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得是中點(diǎn),再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得,最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角.
試題解析:(1)∵且,
與交于點(diǎn),與交于點(diǎn)
∴平面平面,∴幾何體是三棱柱
又平面平面,,∴平面,故幾何體是直三棱柱
(1)四邊形和四邊形都是正方形,所以且,所以四邊形為矩形;于是,連結(jié)交于,連結(jié),是中點(diǎn),又是的中點(diǎn),故是三角形D的中位線,,注意到在平面外,在平面內(nèi),∴直線平面
(2)由于平面 平面,,∴平面,所以.于是,,兩兩垂直.以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,因正方形邊長為,且為中點(diǎn),所以,,,
于是,,設(shè)平面的法向量為
則,解之得,同理可得平面的法向量,∴
記二面角的大小為,依題意知,為銳角,,
即求二面角的大小為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水產(chǎn)品經(jīng)銷商銷售某種鮮魚,售價(jià)為每公斤元,成本為每公斤元.銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售.如果當(dāng)天賣不出去,未售出的全部降價(jià)處理完,平均每公斤損失元.根據(jù)以往的銷售情況,按,,,,進(jìn)行分組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求未來連續(xù)三天內(nèi),該經(jīng)銷商有連續(xù)兩天該種鮮魚的日銷售量不低于公斤,而另一天日銷售量低于公斤的概率;
(2)在頻率分布直方圖的需求量分組中,以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值.
(i)求日需求量的分布列;
(ii)該經(jīng)銷商計(jì)劃每日進(jìn)貨公斤或公斤,以每日利潤的數(shù)學(xué)期望值為決策依據(jù),他應(yīng)該選擇每日進(jìn)貨公斤還是公斤?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中,底面四邊形是菱形,,,相交于,,在平面上的射影恰好是線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交管部門為宣傳新交規(guī)舉辦交通知識問答活動(dòng),隨機(jī)對該市歲的人群抽樣了人,回答問題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示:
分組 | 回答正確的人數(shù) | 回答正確的人數(shù)占本組的頻率 | |
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 |
(1)分別求出,,,的值;
(2)從第,,組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取人,則第,,組每組應(yīng)各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,決定在所抽取的人中隨機(jī)抽取人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng),求:所抽取的人中至少有一個(gè)第組的人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解甲、乙兩種產(chǎn)品的質(zhì)量,從中分別隨機(jī)抽取了10件樣品,測量產(chǎn)品中某種元素的含量(單位:毫克),如圖所示是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖.規(guī)定:當(dāng)產(chǎn)品中的此中元素的含量不小于18毫克時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.
(1)試用樣品數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率;
(2)若從甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品中各隨機(jī)抽取1件,抽到的2件優(yōu)等品中,“甲產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品必須在內(nèi),且乙產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品不包含在內(nèi)”為事件,求事件的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某二手車交易市場對某型號二手汽車的使用年數(shù)與銷售價(jià)格(單位:萬元/輛)進(jìn)行整理,得到如下的對應(yīng)數(shù)據(jù):
使用年數(shù) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
售價(jià) | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
(1)試求關(guān)于的回歸直線方程;(參考公式:,.)
(2)已知每輛該型號汽車的收購價(jià)格為萬元,根據(jù)(1)中所求的回歸方程,預(yù)測為何值時(shí),銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn),參數(shù),在以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)在曲線:上.
(1)求點(diǎn)的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)的軌跡和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: 的焦點(diǎn)與橢圓: 的一個(gè)焦點(diǎn)重合,點(diǎn)在拋物線上,過焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程以及的值;
(Ⅱ)記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),試問是否存在常數(shù),使得且都成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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