Question

13．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．若曲線C的極坐標方程為ρcos²θ-4sinθ=0，P點的極坐標為$（{3，\frac{π}{2}}）$，在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點P，斜率為$\sqrt{3}$
（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρcos²θ-4sinθ=0，即ρ²cos²θ-4ρsinθ=0，即可寫出曲線C的直角坐標方程；直線l經(jīng)過點P（0，3），斜率為$\sqrt{3}$，即可寫出直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的普通方程，整理，得：t²+$\sqrt{3}$t-3=0，利用參數(shù)的幾何意義，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρcos²θ-4sinθ=0，即ρ²cos²θ-4ρsinθ=0，直角坐標方程為x²-4y=0；
直線l經(jīng)過點P（0，3），斜率為$\sqrt{3}$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²-4y=0，整理，得：t²-8$\sqrt{3}$t-48=0，
設(shè)t₁，t₂是方程的兩根，∴t₁•t₂=-48，t₁+t₂=8$\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{192+192}}{48}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．