Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，試證明AF⊥平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，線段PB上是否存在點M，使得EM⊥平面PCD？（直接給出結論，不需要說明理由）

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：AB∥平面PCD，即可證明AB∥EF；
（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，證明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可證明AF⊥平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，線段PB上不存在點M，使得EM⊥平面PCD．

解答 （Ⅰ）證明：因為底面ABCD是正方形，
所以AB∥CD．
又因為AB?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AB∥平面PCD．
又因為A，B，E，F(xiàn)四點共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF．…（5分）
（Ⅱ）證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．
又因為平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD．
又AF?平面PAD
所以CD⊥AF．
由（Ⅰ）可知AB∥EF，
又因為AB∥CD，所以CD∥EF．由點E是棱PC中點，所以點F是棱PD中點．
在△PAD中，因為PA=AD，所以AF⊥PD．
又因為PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（11分）
（Ⅲ）解：不存在． …（14分）

點評 本題考查線面平行的性質(zhì)，平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．