Question

5．已知A，B為圓C：（x-m）²+（y-n）²=9（m，n∈R）上兩個不同的點（C為圓心），且滿足$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=\sqrt{13}$，則|AB|=（　�。�

• A． $\sqrt{23}$
• B． $\frac{{\sqrt{23}}}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求得C到AB的距離d，再由弦長公式求得弦長|AB|的值．

解答 解：設(shè)圓C：（x-m）²+（y-n）²=9與y軸交于A，B兩點，取線段AB的中點D，
則由弦的性質(zhì)可得CD⊥AB，且$\overrightarrow{CD}$=$\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$，故CD的長度即為圓心C到弦AB的距離．
∴圓心C到AB的距離為d=|$\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，由于圓的半徑為r=3，
故AB=2$\sqrt{9-\frac{13}{4}}$=$\sqrt{23}$，
故選：：A．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，弦長公式的應(yīng)用，求出C到AB的距離d，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．