Question

設(shè)函數(shù)f（x）=(x+1)2+2ln

1

x

．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+a+1在區(qū)間[1，3]上恰好有兩個相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＞0，解不等式求出即可，（2））由f（x）=x²+x+a+1，lnx=

1

2

x-

1

2

a，令g（x）=lnx，h（x）=

1

2

x-

1

2

a，顯然只需g（x）和h（x）在[1，3]上有兩個交點(diǎn)即可，通過畫出草圖可一目了然．

解答： 解：（1）∵f′x）=2（x-

1

x

+1），（x＞0）
令f′（x）＞0，解得：x＞-

1

2

+

5

2

=

5 -1

2

，或x＜-

1

2

-

5

2

（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

5 -1

2

，
∴f（x）在（0，

5 -1

2

）遞減，在（

5 -1

2

，+∞）遞增；
（2）∵f（x）=x²+x+a+1，
即：（x+1）²+2ln

1

x

=x²+x+a+1，
整理得：lnx=

1

2

x-

1

2

a，
令g（x）=lnx，h（x）=

1

2

x-

1

2

a，
顯然只需g（x）和h（x）在[1，3]上有兩個交點(diǎn)即可，
當(dāng)h（x）和g（x）相切時，
有g(shù)′（x）=

1

x

=

1

2

，
∴x=2，
∴切點(diǎn)為（2，ln2），
把（2，ln2）代入h（x）得：a=2-2ln2，
而x=3時，g（3）=ln3，
把（3，ln3）代入h（x）得：a=3-ln3，
∴a的范圍是：（2-ln2，3-ln3]．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．