Question

19．已知函數(shù)f（x）=2asinx•cosx+2cos²x+1，$f（\frac{π}{6}）=4$，
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）由$f（\frac{π}{6}）=4$利用已知及特殊角的三角函數(shù)值即可解得a的值．
（2）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，由$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，可求2x+$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得值域．

解答 （本小題滿分12分）
$解：（1）由題意得：f（\frac{π}{6}）=2asin\frac{π}{6}cos\frac{π}{6}+2{cos^2}\frac{π}{6}+1=4$，
可得：asin$\frac{π}{3}$+2+cos$\frac{π}{3}$=4，即$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+\frac{5}{2}=4$，…（2分）
解得：$a=\sqrt{3}$；
${∴_{\;}}a的值為\sqrt{3}$．…..（3分）
（2）由（1）得：$f（x）=2\sqrt{3}sinx•cosx+2{cos^2}x+1=\sqrt{3}sin2x+（cos2x+1）+1$…..（5分）
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+2=2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$…（7分）
${∵_{\;}}x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]，{∴_{\;}}2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，…..（8分）
令$z=2x+\frac{π}{6}$，則y=sinz在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上為減函數(shù)，…（10分）
${∴_{\;}}sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]，則f（x）∈[2-\sqrt{3}，4]$，即f（x）的值域為[2-$\sqrt{3}$，4]．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．