Question

7．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₄=9，且a₈+a₂=22
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅱ）若點A_n（a_n，b_n）在函數(shù)y=3^x的圖象上，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可以利用a₄=a₁+3d=9、a₈+a₂=a₁+7d+a₁+d=22求出首項和公差，進而可得結(jié)論；也可以利用等差中項的性質(zhì)通過a₈+a₂=22得a₅=11，進而可得公差d=a₅-a₄=2，利用a_n=a₄+（n-4）d計算即可；
（Ⅱ）通過將點A_n（a_n，b_n）代入y=3^x可知${b_n}={3^{a_n}}={3^{2n+1}}$，進而可得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=9，計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）法一：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題可知a₄=a₁+3d=9，
即a₈+a₂=a₁+7d+a₁+d=22，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=2n+1；
法二：由a₈+a₂=22得a₅=11，
又a₄=9，
∴數(shù)列{a_n}的公差d=a₅-a₄=11-9=2，
∴a_n=a₄+（n-4）d=2n+1；
（Ⅱ）∵點A_n（a_n，b_n）在函數(shù)y=3^x的圖象上，
∴${b_n}={3^{a_n}}={3^{2n+1}}$，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{3}^{2n+3}}{{3}^{2n+1}}$=9，
又∵b₁=${3}^{{a}_{1}}$=3²⁺¹=27，
∴數(shù)列{b_n}是以27為首項、9為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{{27（1-{9^n}）}}{1-9}=\frac{{27（{9^n}-1）}}{8}$．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與函數(shù)的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．