Question

9．根據(jù)下面一組等式
S₁=1，
S₂=2+3=5，
S₃=4+5+6=15，
S₄=7+8+9+10=34，
S₅=11+12+13+14+15=65，
S₆=16+17+18+19+20+21=111，
S₇=22+23+24+25+26+27+28=175，
…
可得S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1=（　　）

• A． 2n²
• B． n³
• C． 2n³
• D． n⁴

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，可得S_n=（n³+n），再以2n-1代替n，得S_2n-1=4n³-6n²+4n-1，結(jié)合和的特點(diǎn)可以求解．

解答 解：由題中數(shù)陣的排列特征，設(shè)第i行的第1個(gè)數(shù)記為a_i（i=1，2，3…n）
則a₂-a₁=1
a₃-a₂=2
a₄-a₃=3
…
a_n-a_n-1=n-1
以上n-1個(gè)式子相加可得，a_n-a₁=1+2+…+（n-1）=$\frac{1+n-1}{2}$×（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1
S_n共有n連續(xù)正整數(shù)相加，并且最小加數(shù)為$\frac{n（n-1）}{2}$+1，最大加數(shù)$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S_n=n•×$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-1）=$\frac{1}{2}$（n³+n）
∴S_2n-1=$\frac{1}{2}$[（2n-1）³+（2n-1）]=4n³-6n²+4n-1，
∴S₁=1
S₁+S₃=16=2⁴
S₁+S₃+S₅=81=3⁴
∴S₁+S₃+…+S_2n-1=1+15+65+…+4n³-6n²+4n-1=n⁴．
故選：D

點(diǎn)評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．