Question

14．已知左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$上一點(diǎn)A滿足AF₁⊥AF₂，且|AF₁|=3|AF₂|，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x
• C． y=±$\sqrt{6}$x
• D． y=±$\sqrt{10}$x

Answer 1

分析 由題意可得A為雙曲線的右支，由雙曲線的定義可得，|AF₁|-|AF₂|=2a，求得|AF₁|=3a，|AF₂|=a，運(yùn)用勾股定理和a，b，c的關(guān)系和漸近線方程即可得到所求．

解答 解：由題意可得A為雙曲線的右支，
由雙曲線的定義可得，|AF₁|-|AF₂|=2a，
由|AF₁|=3|AF₂|，可得
|AF₁|=3a，|AF₂|=a，
由AF₁⊥AF₂，
可得|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
即有9a²+a²=4c²，
即為c²=$\frac{5}{2}$a²，
即有a²+b²=$\frac{5}{2}$a²，即b²=$\frac{3}{2}$a²，
即有b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程，注意運(yùn)用雙曲線的定義和勾股定理的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．