【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形, 平面, 分別是線(xiàn)段, 的中點(diǎn), .
求證: 平面;
求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】(1)取中點(diǎn),連接,易得四邊形為平行四邊形,從而
所以∥平面;(2)平面,且四邊形是正方形, 兩兩垂直,以為原點(diǎn), , , 所在直線(xiàn)為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面與平面的法向量,代入公式得到所成銳二面角的余弦值.
解: 方法一:
取中點(diǎn),連接,
分別是中點(diǎn), ,
為中點(diǎn), 為正方形, ,
,四邊形為平行四邊形,
平面, 平面,
平面.
方法二:
取中點(diǎn),連接, .
是中點(diǎn), 是中點(diǎn), ,
又是中點(diǎn), 是中點(diǎn), ,
, ,
又, 平面, 平面, 平面, 平面, 平面平面.
又平面, 平面.
方法三:
取中點(diǎn),連接, ,
在正方形中, 是中點(diǎn), 是中點(diǎn)
又是中點(diǎn), 是中點(diǎn), ,
又,
,
,
平面//平面.
平面
平面.
方法四:
平面,且四邊形是正方形, 兩兩垂直,以為原點(diǎn), , , 所在直線(xiàn)為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則
,
則設(shè)平面法向量為,
則, 即, 取,
,
所以 ,又平面, ∥平面.
平面,且四邊形是正方形, 兩兩垂直,以為原點(diǎn), , , 所在直線(xiàn)為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則
設(shè)平面法向量為,
,
則, 即,
取,
則設(shè)平面法向量為,
則, 即, 取,
.
平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
(若第一問(wèn)用方法四,則第二問(wèn)部分步驟可省略)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素,求的值;
(2)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次,記錄如下:
甲:82,81,79,78,95,88,93,84;乙:92,95,80,75,83,80,90,85
(1) 用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù),并計(jì)算平均數(shù)與方差;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度(在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中兩個(gè))考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,且函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的解析式;.
(2)若不等式在上恒成立,求n的取值范圍;
(3)若函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn),求k的值及該函數(shù)的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,且函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)若不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn),求的值及該函數(shù)的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)E是正方形ABCD邊AD的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABE沿BE所在直線(xiàn)翻折成到△A'BE,使A’C=BC,并連接A'C,A'D.
(1)求證:DE∥平面A'BC;
(2)求證:A'E⊥平面A'BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為的菱形中,.點(diǎn),分別在邊,上,點(diǎn)與點(diǎn),不重合,,.沿將翻折到的位置,使平面平面.
(1)求證:平面;
(2)當(dāng)與平面所成的角為時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四邊形中,,,.將四邊形沿對(duì)角線(xiàn)折成四面體,使平面平面,則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是( )
①;②;
③與平面所成的角為;
④四面體的體積為.
A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)
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