Question

如圖所示，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=CC₁=

1

2

CD，且E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，A₁B₁的中點．
（1）求證：AG∥平面C₁EF；
（2）求異面直線AG與C₁E所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，由

AG

=（0，1，1），

FC1

=（0，1，1），得AG∥FC₁，由此能證明AG∥平面C₁EF．
（2）求出

AG

=（0，1，1），

C1E

=（

1

2

，0，-1），由此利用向量法能求出異面直線AG與C₁E所成角的余弦值．

解答： （1）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)BC=CC₁=

1

2

CD=1，
則A（1，0，0），G（1，1，1），
F（0，1，0），C₁=（0，2，1），
∴

AG

=（0，1，1），

FC1

=（0，1，1），
∴

AG

∥

FC1

，∴AG∥FC₁，
又AG?平面C₁EF，F(xiàn)C₁?平面C₁EF，
∴AG∥平面C₁EF．
（2）解：

AG

=（0，1，1），E（

1

2

，2，0），

C1E

=（

1

2

，0，-1），
設(shè)異面直線AG與C₁E所成角為θ，
則cosθ=

| AG • C1E |

| AG |•| C1E |

=

1

2 • 1+ 1 4

=

10

5

．
∴異面直線AG與C₁E所成角的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力，解題時要注意向量法的合理運用．