定長(zhǎng)為3的線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在x軸、y軸上滑動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P滿足
NP
=2
PM

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)點(diǎn)P的軌跡設(shè)為曲線T,設(shè)△ABC是曲線T的內(nèi)接三角形,其中A是T與x軸正半軸的交點(diǎn).直線AB、AC斜率的乘積為-
1
4
,求證△ABC的重心G為定點(diǎn).
考點(diǎn):軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設(shè)M(x0,0),N(0,y0),P(x,y),由
NP
=2
PM
得,(x,y-y0)=2(x0-x,-y),由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),直線BC的方程為y=kx+b,代入橢圓方程,利用直線AB、AC斜率的乘積為-
1
4
,即可得出結(jié)論.
解答: 解:(1)設(shè)M(x0,0),N(0,y0),P(x,y),
NP
=2
PM
得,(x,y-y0)=2(x0-x,-y),
所以x0=1.5x,y0=3y,
又因?yàn)閤02+y02=9,所以(1.5x)2+(3y)2=9,
化簡(jiǎn)得:
x2
4
+y2=1
,這就是點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),直線BC的方程為y=kx+b,
代入橢圓方程可得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0
所以x1+x2=-
8kb
1+4k2
,x1x2=
4b2-4
1+4k2
,
所以y1y2=
b2-4k2
1+4k2
,
因?yàn)橹本AB、AC斜率的乘積為-
1
4
,
所以
y1
x1-2
y2
x2-2
=-
1
4
,
所以-4y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4,
所以-4×
b2-4k2
1+4k2
=
4b2-4
1+4k2
+
16kb
1+4k2
+4,
所以b=0或b=-2k,
b=0,則x1+x2=0,y1+y2=0,所以△ABC的重心G(
2
3
,0)為定點(diǎn).
b=-2k,則直線BC的方程為y=kx-2k過(guò)(2,0),不符合題意.
點(diǎn)評(píng):本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,考查橢圓方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,難度大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
1
2
,直線l:x-my-1=0(m∈R)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)D(
5
2
,0),連結(jié)BD,過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l1,設(shè)直線l1與直線BD交于點(diǎn)P,試探索當(dāng)m變化時(shí),是否存在一條定直線l2,使得點(diǎn)P恒在直線l2上?若存在,請(qǐng)求出直線l2的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)空間任意一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C,若點(diǎn)P滿足向量關(guān)系
OP
=x
OA
-
OB
+3
OC
,且P、A、B、C四點(diǎn)共面,則x=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是AC與BD的交點(diǎn).
(1)求證:BD⊥A1F;
(2)求直線BE與平面A1EF所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(log2x)=
x
x2+1

(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2x2-λx)≥
2
5
對(duì)任意x∈[
1
2
,1]恒成立,求常數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列四個(gè)結(jié)論:
(1)如圖Rt△ABC中,|AC|=2,∠B=90°,∠C=30°.D是斜邊AC上的點(diǎn),|CD|=|CB|.以B為起點(diǎn)任作一條射線BE交AC于E點(diǎn),則E點(diǎn)落在線段CD上的概率是
3
2
;
(2)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(kg)與身高x(cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的線性回歸方程為
y
=0.85x-85.71,則若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg;
(3)為調(diào)查中學(xué)生近視情況,測(cè)得某校男生150名中有80名近視,在140名女生中有70名近視.在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí),應(yīng)該用獨(dú)立性檢驗(yàn)最有說(shuō)服力;
(4)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.79,則P(ξ≤-2)=0.21;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)互不相等的平面向量組
ai
(i=1,2,3,…),滿足:①|(zhì)
ai
|=2;②
ai
ai+1
=0,若
Tm
=
a1
+
a2
+…+
am
(m≥2),則|
Tm
|的取值集合為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BC=CC1=
1
2
CD,且E,F(xiàn),G分別為棱BC,CD,A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:AG∥平面C1EF;
(2)求異面直線AG與C1E所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=6lnx+ax2-10ax+25a,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6).
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案