Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＞0，a_n+1=2-|a_n|，n∈N^*．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，求a₁的值；
（Ⅱ）是否存在a₁，使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a₁；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）把a₂，a₃表示為a₁的式子，通過對a₁的范圍進行討論去掉絕對值符號，根據(jù)a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列可得關(guān)于a₁的方程，解出即可；
（Ⅱ）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，即2a₂=a₁+a₃，亦即2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），分情況①當a₁＞2時；②當0＜a₁≤2時．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁＞0，
∴a₂=2-|a₁|=2-a₁，a₃=2-|a₂|=2-|2-a₁|．
當0＜a₁≤2時，a₃=2-（2-a₁）=a₁，∴a₁²=（2-a₁）²，解得a₁=1．
當a₁＞2時，a₃=2-（a₁-2）=4-a₁，∴a₁（4-a₁）=（2-a₁）²，解得a₁=2-

2

（舍去）或a₁=2+

2

．
綜上可得a₁=1或a₁=2+

2

．…（6分）
（Ⅱ）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則
由2a₂=a₁+a₃，得2（2-a₁）=a₁+（2-|2-a₁|），即|2-a₁|=3a₁-2．
當a₁＞2時，a₁-2=3a₁-2，解得a₁=0，與a₁＞2矛盾；
當0＜a₁≤2時，2-a₁=3a₁-2，解得a₁=1，從而a_n=1（n∈N^*），此時{a_n}是一個等差數(shù)列；
綜上可知，當且僅當a₁=1時，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性、等差關(guān)系等比關(guān)系的確定，考查分類討論思想，考查學生邏輯推理能力、分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大．