Question

y=f（x）是定義在[-3，3]的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）的圖象是y=x²在相應(yīng)區(qū)間上的部分（如圖所示）；當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，y=f（x）的圖象是一次函數(shù)y=-x+3在相應(yīng)區(qū)間上的部分．
（1）求f（-

1

2

）、f（-1）、f（-2）、f（-3）的值；
（2）畫(huà)出其圖象并寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間；
（3）寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式（用兩種方法解答）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合已知條件直接求出f（-

1

2

）、f（-1）、f（-2）、f（-3）的值．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在[-3，3]上的偶函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得f（x）在y軸右側(cè)的圖象；寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間；
（2）利用函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的表達(dá)式，方法一是利用圖象的對(duì)稱(chēng)性；二是，函數(shù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答： 解：（1）y=f（x）是定義在[-3，3]的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）的圖象是y=x²在相應(yīng)區(qū)間上的部分（如圖所示）；當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，y=f（x）的圖象是一次函數(shù)y=-x+3在相應(yīng)區(qū)間上的部分．
∴f（-

1

2

）=f（

1

2

）=

1

4

；
f（-1）=f（1）=1；
f（-2）=f（2）=-2+3=1；
f（-3）=f（3）=-3+3=0．
（2）∵函數(shù)f（x）是定義在[-3，3]上的偶函數(shù)，∴函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得f（x）在y軸右側(cè)的圖象，如圖所示：
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是：[-3，-1]，（0，1）；單調(diào)減區(qū)間是：（-1，0]，[1，3]．
（3）方法一：由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，函數(shù)y=x²；當(dāng)x∈[-3，-1）時(shí)，f（x）=x+3．
即f（x）=

x+3，x∈[-3，-1) x2，x∈[-1，1] -x+3，x∈(1，3]

．
方法二：∵函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，-x∈[0，1]，函數(shù)y=（-x）²=x²；
當(dāng)x∈[-3，-1）時(shí)，-x∈（1，3]，f（x）=-（-x）+3=x+3．
∴f（x）=

x+3，x∈[-3，-1) x2，x∈[-1，1] -x+3，x∈(1，3]

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的作圖能力．