Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且直線與曲線交于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，求直線的普通方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）：,; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為，

由直線的參數(shù)方程可得直線恒過定點(diǎn).

(2)將直線方程與橢圓的普通方程聯(lián)立，結(jié)合題意所給的條件可得直線的普通方程為.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，，所以：.直線恒過定點(diǎn)為.

（Ⅱ）把直線的方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中得：.

由的幾何意義知，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，

所以，因?yàn)?/span>，即，

所以，因?yàn)?/span>，所以，

因此，直線的方程為.