【題目】已知數(shù)列和滿足： .

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若.

求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.

【答案】(1) ;(2) ， ．

【解析】試題分析:（1）當(dāng)時(shí)，有，得，

構(gòu)造數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，即，所以（）;（2）①當(dāng)時(shí)，有（），按照n被4整除的余數(shù)分四類(lèi)分別證明數(shù)列為等差數(shù)列;②由①知， ，則（）；由，得；按照, 和時(shí)分別討論,求出正整數(shù)和.

試題解析:（1）當(dāng)時(shí)，有，得，

令， ，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，

即，所以（）．

（2）①當(dāng)時(shí)，有（），

（）時(shí)， ，所以為等差數(shù)列；

（）；

（）時(shí)， ，所以為等差數(shù)列；

（）；

（）時(shí)， ，所以為等差數(shù)列；

（）；

（）時(shí)， ，所以為等差數(shù)列；

（）；

所以（），，所以數(shù)列為等差數(shù)列．

②由①知， ，則（）；

由，得；

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?/span>，所以；

從而，因?yàn)?/span>和為正整數(shù)，所以不存在正整數(shù)；

當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?/span>為正整數(shù)，所以，

從而，即，

因?yàn)?/span>為正整數(shù)，所以或；

當(dāng)時(shí)， ， 不是正整數(shù)；當(dāng)時(shí)， ， 不是正整數(shù)；

綜上，滿足題意的所有正整數(shù)和分別為， ．

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