【題目】一青蛙從點(diǎn)開始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng),其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是,(如圖所示,坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn)),表示青蛙從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路程.
(1)若點(diǎn)為拋物線()準(zhǔn)線上一點(diǎn),點(diǎn)均在該拋物線上,并且直線經(jīng)過該拋物線的焦點(diǎn),證明.
(2)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,試寫出(不需證明);
(3)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,求的表達(dá)式.
【答案】解:(1)設(shè),由于青蛙依次向右向上跳動(dòng),
所以,,由拋物線定義知:分
(2) 依題意,
隨著的增大,點(diǎn)無限接近點(diǎn)分
橫向路程之和無限接近,縱向路程之和無限接近分
所以=分
(3)方法一:設(shè)點(diǎn),由題意,的坐標(biāo)滿足如下遞推關(guān)系:,且
其中分
∴,即,
∴是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,
∴,
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,于是,
又
∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí),分
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以,分
方法二:由題意知
其中
觀察規(guī)律可知:下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.相鄰橫坐標(biāo)之差為首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列.下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)也有此規(guī)律.并由數(shù)學(xué)歸納法可以證明.分
所以,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),分
所以,分
【解析】
試題(1)直接借助題設(shè)求解即可獲證;(2)運(yùn)用題設(shè)條件和極限思想表示出來再求解即可;(3)運(yùn)用題設(shè)中提供的信息分類進(jìn)行求解.
試題解析:(1)設(shè),由于青蛙依次向右向上跳動(dòng),
所以,,由拋物線定義知:.
(2)依題意,,,()
隨著的增大,點(diǎn)無限接近點(diǎn),
橫向路程之和無限接近,縱向路程之和無限接近,
所以.
(3)方法一:設(shè)點(diǎn),則題意,的坐標(biāo)滿足如下遞推關(guān)系:
,且,()
其中,
∴,即,
∴是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
∴,
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,于是,
又,
∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以,.
方法二:由題意知,,,,,,…
其中,,,,…
,,,…
觀察規(guī)律可知:下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為首項(xiàng)為,公比為4的等比數(shù)列,相鄰橫坐標(biāo)之差為首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)也有此規(guī)律,并由數(shù)學(xué)歸納法可以證明.
所以,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】同學(xué)們有沒有讀過莎士比亞的名劇《威尼斯商人》?數(shù)學(xué)家斯摩林在劇中增加了一個(gè)情節(jié):安東尼奧到鮑西婭家向她求婚,鮑西婭拿出一金、一銀、一鋁三個(gè)盒子,說:“每只盒子上寫了一句話,但只有一句是真的.誰能猜中我的肖象在哪只盒子中,才能做我的丈夫”.如果你是聰明、政治的安東尼奧,請(qǐng)問肖象在哪個(gè)盒子內(nèi)?(請(qǐng)從金盒、銀盒、鋁盒中選擇一個(gè)填在橫線上)________.
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(1)若當(dāng)時(shí),取得極值,求的值,并求的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于或等于2,則稱這個(gè)數(shù)列為“D數(shù)列”.
(1)若首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且數(shù)列為“D數(shù)列”,其前n項(xiàng)和滿足(),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)已知等比數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且數(shù)列為“D數(shù)列”,,設(shè)(),試判斷數(shù)列是否為“D數(shù)列”,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1)設(shè),,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);
(2)設(shè),若對(duì)任意,有,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題14分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PE⊥BC;
(Ⅱ)求證:平面PAB⊥平面PCD;
(Ⅲ)求證:EF∥平面PCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三棱柱中,為的中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上,平面
(1) 證明:是的中點(diǎn);
(2) 設(shè),四邊形為邊長(zhǎng)為4正方形,四邊形為矩形,且異面直線與所成的角為,求該三棱柱的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性,并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);
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