【題目】三棱柱中，為的中點，點在側棱上，平面

(1) 證明：是的中點；

(2) 設,四邊形為邊長為4正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為，求該三棱柱的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)32.

【解析】

（1）利用棱柱的性質以及相似三角形判斷定理，證得，從而得到；連接分別交于，連，利用線面平行性質定理證得，從而得到；再證得，從而得到，結論得證.

（2）取的中點，連接，則或其補角為異面直線與所成的角，結合題目條件，設，分別求出，再利用余弦定理，即可建立方程求出，從而求出三棱柱的體積.

(1)證明：連接分別交于，連，

∵平面，平面，平面平面=，∴,

又∵在三棱柱側面中，為的中點，

由可得，，所以，

故，，∴，

在平面中同理可證得，

故有是的中點.

(2)取的中點，連接，可知，

故或其補角為異面直線與所成的角，

設，則在中，可求，

則余弦定理可求：，解得：，

故.

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓的左焦點為，右焦點為，設M，N是橢圓C上位于x軸上方的兩動點，且直線與直線平行，與交于點D．

（Ⅰ）求和的坐標；

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）求證：是定值．

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【題目】下列命題：

①若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，則樣本的方差不變；

②在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；

③設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則；

④對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大.其中正確的命題序號是（ ）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

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【題目】足球是世界普及率最高的運動，我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學校的發(fā)展狀況，社會調查小組得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色學校y（百個）

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關系數(shù)r，并說明y與x的線性相關性強弱.

（已知：，則認為y與x線性相關性很強；，則認為y與x線性相關性一般；，則認為y與x線性相關性較）：

（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測A地區(qū)2020年足球特色學校的個數(shù)（精確到個）.

參考公式和數(shù)據(jù)：，

，

.

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【題目】已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心位于軸正半軸上，與直線相切且被軸截得的弦長為，圓的面積小于13.

（Ⅰ）求圓的標準方程；

（Ⅱ）設過點的直線與圓交于不同的兩點，以為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行?如果存在，求出的方程；如果不存在，請說明理由.

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【題目】設兩個向量，滿足||＝2，||＝1，，的夾角為60°，若向量2t7與向量t的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．

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【題目】如圖，底面是邊長為3的正方形，平面，，，與平面所成的角為.

(1)求證：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取個作為樣本，稱出它們的重量(單位:克)重量分組區(qū)間為，，，，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）.

（1）求的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均數(shù)（精確到0.01）；

（2）從盒子中裝的大量小球中，隨機抽取3個小球，其中重量在內的小球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】定義：從數(shù)列中抽取項按其在中的次序排列形成一個新數(shù)列，則稱為的子數(shù)列；若成等差（或等比），則稱為的等差（或等比）子數(shù)列.

（1）記數(shù)列的前項和為，已知.

①求數(shù)列的通項公式；

②數(shù)列是否存在等差子數(shù)列，若存在，求出等差子數(shù)列；若不存在，請說明理由.

（2）已知數(shù)列的通項公式為，證明：存在等比子數(shù)列.

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