Question

2．已知t為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+tln（x+1）有兩個極值點a，b（a＜b），則（　�。�

• A． f（b）＞$\frac{1-2ln2}{4}$
• B． f（b）＜$\frac{1-2ln2}{4}$
• C． f（b）＞$\frac{3+2ln2}{8}$
• D． f（b）＜$\frac{4+3ln2}{8}$

Answer 1

分析 b是方程g（x）=0的根，將t用b表示，消去b得到關于t的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可得出結論．

解答 解：∵f（x）=x²+tln（1+x），
∴f′（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x+t}{1+x}$（x＞-1）
令g（x）=2x²+2x+t，函數(shù)的對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，g（-1）＞0．
∵函數(shù)f（x）=x²+tln（x+1）有兩個極值點a，b（a＜b），
∴g（0）=t＞0，-$\frac{1}{2}$＜b＜0，t=-（2b²+2b），
∴f（b）=b²+tln（1+b）=b²-（2b²+2b）ln（1+b）．
設h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-$\frac{1}{2}$），
則h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
（1）當x∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，h′（x）＞0，∴h（x）在[-$\frac{1}{2}$，0）單調(diào)遞增；
（2）當x∈（0，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
∴x∈（-$\frac{1}{2}$，0），h（x）＞h（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2ln2}{4}$；
故f（b）=h（b）＞$\frac{1-2ln2}{4}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值等有關知識，屬于中檔題．