Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+|x+b|（a，b∈R）．
（1）若a=2，b=1，試求函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域；
（2）若b=0，1＜a＜2，試求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2，b=1時，f（x）=x|x-2|+|x+1|，從而化簡去絕對值號f（x）=x（2-x）+x+1，從而配方法求值域；
（2）f（x）=x|x-a|+|x|，討論以去掉絕對值號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)a=2，b=1時，f（x）=x|x-2|+|x+1|，
又∵x∈[0，2]，
∴f（x）=x（2-x）+x+1
=-x²+3x+1=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，
∵x∈[0，2]，
∴1≤-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{13}{4}$≤$\frac{13}{4}$，
故函數(shù)的值域為[1，$\frac{13}{4}$]；
（2）由題意，f（x）=x|x-a|+|x|，
當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）=x（a-x）-x=-x²+（a-1）x，
在[-1，0]上單調(diào)遞增，
故f（x）_max=f（0）=0，
當(dāng)0＜x≤a時，f（x）=x（a-x）+x=-x²+（a+1）x，
其圖象的對稱軸為x=$\frac{a+1}{2}$＜a，
故f（x）在（0，$\frac{a+1}{2}$）上是增函數(shù)，在[$\frac{a+1}{2}$，a]上是減函數(shù)，
故f（x）_max=f（$\frac{a+1}{2}$）=$\frac{（a+1）^{2}}{4}$，
當(dāng)a＜x≤3時，f（x）=x（x-a）+x=x²-（a-1）x，
其圖象的對稱軸為x=$\frac{a-1}{2}$＜a，
故f（x）在（a，3]上是增函數(shù)，
故f（x）_max=f（3）=9-3（a-1）=12-3a，
又∵1＜a＜2，
∴12-3a＞$\frac{（a+1）^{2}}{4}$＞0，
故g（a）=12-3a．

點評 本題考查了絕對值函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用與配方法的應(yīng)用．