Question

5．已知A，B，P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積k_PA•k_PB=$\frac{1}{4}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)A，點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出斜率，將點(diǎn)A，P的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合k_PA•k_PB=$\frac{1}{4}$，即可求得離心率．

解答 解：由題意，設(shè)A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
∴兩式相減可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∵k_PA•k_PB=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即為c²=$\frac{5}{4}$a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程，主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)：離心率的求法，屬于中檔題．