Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₄=$\frac{1}{8}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2）．
（1）證明：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+2（n≥2），并求出a₁的值．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2）取倒數(shù)可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+2（n≥2），利用$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+3•2及a₄=$\frac{1}{8}$，即得a₁=$\frac{1}{2}$；
（2）通過由（1）得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為首項、公差均為2的等差數(shù)列，進而可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+2（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+3•2，
又∵a₄=$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{8}}$-6=2，
∴a₁=$\frac{1}{2}$；
（2）解：由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2（n≥2），$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=$\frac{1}{2n}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及判斷數(shù)列為等差數(shù)列，對表達式兩端取倒數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．