Question

5．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$，x∈（0，+∞）．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）若x∈[3，+∞），關(guān)于x不等式x+$\frac{1}{x}$≥|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明判斷即可．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論得到當(dāng)x∈[3，+∞），f（x）=x+$\frac{1}{x}$的最小值為f（3）=$\frac{10}{3}$，然后將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行求解即可．

解答 （I）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$=（x₂-x₁）+$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$ ），
要確定此式的正負(fù)只要確定1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$ 的正負(fù)即可．
①當(dāng)x₁、x₂∈（0，1）時(shí)，1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，為減函數(shù)，
②當(dāng)x₁、x₂∈（1，+∞）時(shí)，1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，為增函數(shù)．
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（II）若x∈[3，+∞），由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$的最小值為f（3）=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，
于是不等式x+$\frac{1}{x}$≥|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|恒成立等價(jià)為$\frac{10}{3}$≥|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|恒成立
∵|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|≥|$\frac{5}{3}$-m+m+$\frac{5}{3}$|=$\frac{10}{3}$，
∴|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|=$\frac{10}{3}$，此-$\frac{5}{3}$≤m≤$\frac{5}{3}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及不等式恒成立問題，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值不等式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．