Question

如圖，正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．
（1）求證：AB⊥平面ADE；
（2）求凸多面體ABCDE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AE⊥平面CDE的性質(zhì)可知AE⊥CD，而CD⊥AD，AD∩AE=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可知CD⊥平面ADE，而AB∥CD，，從而AB⊥平面ADE；
（2）在Rt△ADE中，求出AE，AD，DE，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，根據(jù)AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，可知EF⊥AB，而AD∩AB=A，從而EF⊥平面ABCD，因AD•EF=AE•DE，可求出EF，又正方形ABCD的面積S_ABCD=36，則=，得到結(jié)論．
解答：（1）證明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD．
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE．
（2）解：在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，
∴．
過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，
∵AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB．
∵AD∩AB=A，
∴EF⊥平面ABCD．
∵AD•EF=AE•DE，
∴．
又正方形ABCD的面積S_ABCD=36，
∴=．
故所求凸多面體ABCDE的體積為．
點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．