Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，$2\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FP}$，$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{ED}$，∠ABC=60°，PA=3，AB=2．
（1）若直線CE與平面BDF沒有公共點(diǎn)，求λ；
（2）求平面BDE與平面BDF所夾角的余弦值；
（3）在（1）的條件下，求三棱錐E-BDF的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)GE，GC，連結(jié)AC交BD于O，則GC∥FO，從而GC∥平面BDF，再求出CE∥平面BDF，從而平面BDF∥平面GEC，由此能求出λ．
（2）由題意得FO⊥BD，PO⊥BD，平面BDE與平面BDF所夾角即二面角F-BD-P，其平面角即為∠POF，由此能求出平面BDE與平面BDF所夾角的余弦值．
（3）三棱錐E-BDF的體積${V_{E-BDF}}={V_{B-EDF}}=\frac{1}{3}{V_{B-ADP}}=\frac{1}{3}{V_{P-ADB}}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）如圖，G為PF中點(diǎn)，連結(jié)GE，GC，連結(jié)AC交BD于O，
則GC∥FO，
∵GC?平面BDF，F(xiàn)O?平面BDF，∴GC∥平面BDF，
∵CE與平面BDF沒有交點(diǎn)，∴CE∥平面BDF，
∵GC∩CE=C，
∴平面BDF∥平面GEC．
則GE∥FD，故λ=1．
（2）由ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，
由題意得FO⊥BD，PO⊥BD，
而平面BDE與平面BDF所夾角即二面角F-BD-P，
由二面角定義，其平面角即為∠POF，
$cos∠POF=\frac{2+10-4}{{2×\sqrt{2}×\sqrt{10}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴平面BDE與平面BDF所夾角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）三棱錐E-BDF的體積：
${V_{E-BDF}}={V_{B-EDF}}=\frac{1}{3}{V_{B-ADP}}=\frac{1}{3}{V_{P-ADB}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行，面面平行的求法應(yīng)用，考查二面角、柱、錐、臺(tái)體的體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力，是中檔題．