Question

【題目】已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)，在軸上方交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，且，圓的方程是.

(1)求雙曲線(xiàn)的方程；

(2)過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作該雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，求的值；

(3)過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)， 中點(diǎn)為，

求證: .

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1），根據(jù)可得，利用雙曲線(xiàn)的定義可得從而得到雙曲線(xiàn)的方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，利用漸近線(xiàn)的斜率可以得到夾角的余弦為，利用點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上又可得為定值，故可得的值.

（3）設(shè)，切線(xiàn)的方程為:，證明等價(jià)于證明，也就是證明 ，聯(lián)立切線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程，消元后利用韋達(dá)定理可以證明.

(1)設(shè)的坐標(biāo)分別為,

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,所以,即,所以，

在中, ,,所以，

由雙曲線(xiàn)的定義可知: ，

故雙曲線(xiàn)的方程為: .

(2)由條件可知:兩條漸近線(xiàn)分別為；.

設(shè)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn),

設(shè)的傾斜角為，則，又 ，所以，

故，

所以的夾角為，且.

點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)的距離分別為，.

因?yàn)?/span>在雙曲線(xiàn)上,所以 ，

所以 .

(3)由題意,即證: ,設(shè),

切線(xiàn)的方程為: .

時(shí),切線(xiàn)的方程代入雙曲線(xiàn)中,化簡(jiǎn)得:

( ，

所以，.

又 ，

所以 .

時(shí),易知上述結(jié)論也成立.所以.

綜上, ,所以.