Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) .

【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)奇偶性確定時(shí)單調(diào)區(qū)間，（2）先分離變量，轉(zhuǎn)化研究對(duì)應(yīng)函數(shù)值域，再利用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)奇偶性確定時(shí)單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)值域，即得結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，

，∴為偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

令 ，

令

.

所以可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，所以可得：

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

綜上可得：的遞增區(qū)間是：，；

的遞減區(qū)間是：，.

（2）由，即，顯然，，

可得：，令，

當(dāng)時(shí)，，

.

顯然，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

∴時(shí)，.

又，所以可得為奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，

所以可得：當(dāng)時(shí)，，

∴的值域?yàn)?/span>，∴的取值范圍是.