Question

【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．
（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；
（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
發(fā)電機最多可運行臺數	1	2	3

若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元，若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，p1=P（40＜X＜80）= ， ， ，

由二項分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為

=

（2）解：記水電站的總利潤為Y（單位，萬元）

①安裝1臺發(fā)電機的情形，

由于水庫年入流總量大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，

②安裝2臺發(fā)電機的情形，

依題意，當 40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y=5000﹣800=4200，

因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1= ，

當X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，

由此得Y的分布列如下

Y	4200	10000
P	0.2	0.8

所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．

③安裝3臺發(fā)電機的情形，

依題意，當 40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y=5000﹣1600=3400，

因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，

當80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，

當X＞120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，

由此得Y的分布列如下

Y	3400	9200	15000
P	0.2	0.7	0.1

所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺．

【解析】（1）先求出年入流量X的概率，根據二項分布，求出未來4年中，至少有1年的年入流量超過120的概率；（2）分三種情況進行討論，分別求出一臺，兩臺，三臺的數學期望，比較即可得到
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．