Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求的最大值與最小值；

（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）直接求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)為0，求出函數(shù)的極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用最值定理求出f（x）的最大值與最小值；

（2）利用（1）的結(jié)論，f（x）＜4-At于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，轉(zhuǎn)化為4-At＞對任意t∈[0，2]恒成立，通過求實數(shù)A的取值范圍．

試題解析：（1）因為函數(shù)f（x）=﹣lnx，

所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，

因為x∈[1，3]，

當1＜x＜2時 f′（x）＜0；當2＜x＜3時，f′（x）＞0；

∴f（x）在（1，2）上單調(diào)減函數(shù)，在（2，3）上單調(diào)增函數(shù)，

∴f（x）在x=2處取得極小值f（2）=﹣ln2；

又f（1）=，f（3）=，

∵ln3＞1∴

∴f（1）＞f（3），

∴x=1時 f（x）的最大值為，

x=2時函數(shù)取得最小值為﹣ln2．

（2）由（1）知當x∈[1，3]時，f（x），

故對任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，

只要4﹣At＞對任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立

記 g（t）=At，t∈[0，2]

∴，解得A，

∴實數(shù)A的取值范圍是（﹣∞，）．