Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)．
（I）若函數(shù)f（x）存在極小值，且極小值為0，求a的值；
（Ⅱ）若對任意 x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，不等式 f（x）-2ax≥e^x（1-sinx）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求導函數(shù)，對a討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）存在極小值，且極小值為0，可求a的值；
（Ⅱ）對任意x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，不等式f（x）-2ax≥e^x（1-sinx）恒成立，等價于對任意x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，不等式e^xsinx-ax≥0恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．

解答 解：（I）∵f（x）=e^x+ax，∴f′（x）=e^x+a，
當a≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)在R上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；
當a＜0時，由f′（x）＞0，可得x＞ln（-a），由f′（x）＜0，可得x＜ln（-a），
∴x=ln（-a）為函數(shù)的極小值點，
由已知，f[ln（-a）]=0，即ln（-a）=1，∴a=-e；
（Ⅱ）由題意，不等式 f（x）-2ax≥e^x（1-sinx）即e^xsinx-ax≥0，
設(shè)g（x）=e^xsinx-ax，則g′（x）=e^x（sinx+cosx）-a，g″（x）=2e^xcosx，
x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時，g″（x）≥0，則g′（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時為增函數(shù)，∴g′（x）=g′（0）=1-a．
①1-a≥0，即a≤1時，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時為增函數(shù)，∴g（x）_min=g（0）=0，此時g（x）≥0恒成立；
②1-a＜0，即a＞1時，存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}}$），使得g′（x₀）＜0，從而x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x₀]上是減函數(shù)，
∴x∈（0，x₀）時，g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．