Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線l：x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，A，B是橢圓上的兩定點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，當(dāng)直線AB與OP斜率均存在時(shí)，求|k_AB|+|k_OP|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線l：x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，可得$\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可；
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，可得P（x₁+x₂，y₁+y₂）．因此|k_OP|=$|\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$=$|k+\frac{2m}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（4+9k²）x²+18kmx+9m²-36=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|k_AB|+|k_OP|=|k|+$\frac{4}{9|k|}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線l：x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：$c=\sqrt{5}$，a=3，b=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，∴P（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴|k_OP|=$|\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$=$|\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$=$|k+\frac{2m}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為（4+9k²）x²+18kmx+9m²-36=0，
由△＞0，可得m²＜4+9k²．
∴x₁+x₂=$\frac{-18km}{4+9{k}^{2}}$，
∴|k_AB|+|k_OP|=|k|+$|k+\frac{2m}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$=|k|+$|k-\frac{4+9{k}^{2}}{9k}|$
=|k|+$\frac{4}{9|k|}$
≥2$\sqrt{|k|•\frac{4}{9|k|}}$=$\frac{4}{3}$．當(dāng)且僅當(dāng)|k|=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴|k_AB|+|k_OP|的最小值是$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．