Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-2lnx．
（1）若f（x）在x=2時(shí)有極值，求實(shí)數(shù)a的值和f（x）的極大值；
（2）若f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），所以f′（2）=0，這樣即可求出a=

4

5

，這樣就可求出f′（x），并令f′（x）=0，這樣方程的解將區(qū)間（0，+∞）劃分為幾個(gè)區(qū)間，通過判斷f′（x）在這幾個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，即可找到極大值點(diǎn)，從而求出極大值；
（2）求f′（x），所以f′（x）≥0對(duì)于x＞0時(shí)恒成立，進(jìn)而得到ax²-2x+a≥0對(duì)于x＞0時(shí)恒成立，所以得到a≥

2x

x2+1

，而

2x

x2+1

的最大值是1，所以便得到a≥1．

解答： 解：（1）f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

；
∴f′（2）=a+

a

4

-1=0，解得a=

4

5

；
∴f′（x）=

4

5

+

4

5x2

-

2

x

=

2(x-2)(2x-1)

5x2

，x＞0，令f′（x）=0，解得：x=

1

2

，或2；
∴x∈（0，

1

2

）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（

1

2

，2）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=

1

2

時(shí)，f（x）取得極大值f（

1

2

）=2ln2-

6

5

；
（2）若f（x）在定義域上是增函數(shù)，則f′（x）≥0在x＞0時(shí)恒成立；
∵f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，∴需x＞0時(shí)ax²-2x+a≥0恒成立；
化ax²-2x+a≥0為a≥

2x

x2+1

恒成立，∵

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，∴a≥1為所求．

點(diǎn)評(píng)：考查極值的概念，根據(jù)極值定義求極值，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系．而對(duì)于第二問的關(guān)健是得到式子a≥

2x

x2+1

．