Question

設(shè)，
（1）證明不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立；
（2）設(shè)，用定義證明

Answer 1

【答案】分析：（1）考慮a_n和式的通項(xiàng)，先對(duì)其進(jìn)行放縮，結(jié)合數(shù)列的求和公式即可證得；
（2）欲用定義證明即證對(duì)任意指定的正數(shù)ε，要使．
解答：證：（1）由不等式
對(duì)所有正整數(shù)k成立，把它對(duì)k從1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜a_n＜
又因1+2+3+…+n=，以及
＜[1+3+5+…+（2n+1）]=，

對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．
（2）由（1）及b_n的定義知
對(duì)任意指定的正數(shù)ε，要使，
只要使，即只要使
取N是的整數(shù)部分，則數(shù)列b_n的第N項(xiàng)以后所有的項(xiàng)都滿足
根據(jù)極限的定義，證得
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明，主要采用了放縮法．放縮是一種重要的變形手段，但是放縮的對(duì)象以及放縮的尺度不易掌握，技巧性較強(qiáng)．