設(shè)f(x)=lnx-
x-a
x
(其中a>0),g(x)=2(x-1)-(x2+1)lnx

(1)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(2)已知f(x)和g(x)在[1,+∞)上單調(diào)性一致,求a的取值范圍;
(3)設(shè)b>1,證明不等式
2
1+b2
lnb
b-1
1
b
分析:(1)由已知中g(shù)(x)的解析式,我們易判斷g(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性.
(2)由f(x)和g(x)在[1,+∞)上單調(diào)性一致,我們易判斷f'(x)在[1,+∞)上的符號(hào),進(jìn)而得到一個(gè)關(guān)于a的不等式,解不等式即可得到的取值范圍.
(3)由(2)的結(jié)論,結(jié)合b>1,我們易得g(b)<g(1),f(b)<f(1),構(gòu)造關(guān)于b的不等式組,解不等式組,即可得到答案.
解答:(1)解:∵g(x)=2(x-1)-(x2+1)lnx,
g(x)=2-2xlnx-
x2+1
x

=-2xlnx-
(x-1)2
x

=-[2xlnx+
(x-1)2
x
],
當(dāng)x≥1時(shí),2xlnx≥0,
(x-1)2
x
>0
,
∴g′(x)<0,
所以g(x)在[1,+∞)上為減函數(shù).
(2)解:∵g(x)在[1,+∞)上為減函數(shù).
f(x)和g(x)在[1,+∞)上單調(diào)性一致,
∴f(x)=lnx-
x-a
x
在[1,+∞)上為減函數(shù),
f(x)=
1
x
-
x
-(x-a)•
1
2
x
x
=
1
x
-
1
2
x
+
a
2
x
x
=
1-(
1
2
x
+
a
2
x
)
x
≤0在[1,+∞)上恒成立,
即1-(
1
2
x
+
a
2
x
)≤0在[1,+∞)上恒成立,
(
1
2
x
+
a
2
x
)
min
≥1
,
∵a>0,
1
2
x
+
a
2
x
≥2
1
2
x
a
2
x
=
a
=1,
∴a=1.
(3)證明:∵g(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),
b>1時(shí),g(b)<g(1),
∴2(b-1)-(b2+1)lnb<0,
2
1+b2
lnb
b-1
.①
當(dāng)a=1時(shí),f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),
∵b>1,
∴f(b)<f(1),
即lnb-
b-1
b
<0,
lnb
b-1
1
b
,②
由①②知:
2
1+b2
lnb
b-1
1
b
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式及不等式的證明,其中利用已知中函數(shù)的解析式,求出導(dǎo)函數(shù)的解析式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式問(wèn)題是解答的關(guān)鍵.
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設(shè)f(x)=
lnx,x>0
x+
a
0
t2dt,x≤0
,若f{f[f(e)]}=9,則a=
3
3

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(2012•增城市模擬)設(shè)f(x)=lnx+
ax
(a≥0,且為常數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•遼寧)設(shè)f(x)=lnx+
x
-1
,證明:
(Ⅰ)當(dāng)x>1時(shí),f(x)<
3
2
( x-1);
(Ⅱ)當(dāng)1<x<3時(shí),f(x)<
9(x-1)
x+5

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設(shè)f(x)=
lnx,x>0
x+
a
0
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,若f{f[f(e)]}=9,則a=( 。

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x-a
x
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(II)設(shè)b>1,證明不等式
2
1+b2
lnb
b-1
1
b

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