Question

16．如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G．
（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；
（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意分析可得PD⊥平面ABC，進(jìn)而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，結(jié)合兩者分析可得AB⊥平面PDE，進(jìn)而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性質(zhì)可得證明；
（Ⅱ）由線面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．由棱錐的體積公式計(jì)算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵P-ABC為正三棱錐，且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影，
∴PD⊥平面ABC，則PD⊥AB，
又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影，
∴DE⊥面PAB，則DE⊥AB，
∵PD∩DE=D，
∴AB⊥平面PDE，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G，
則AB⊥PG，
又PA=PB，
∴G是AB的中點(diǎn)；
（Ⅱ）在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．
∵正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，
∴PB⊥PA，PB⊥PC，
又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，
即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．
連結(jié)CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心．
由（Ⅰ）知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD=$\frac{2}{3}$CG．
由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=$\frac{2}{3}$PG，DE=$\frac{1}{3}$PC．
由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3$\sqrt{2}$，PE=2$\sqrt{2}$．
在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．
所以四面體PDEF的體積V=$\frac{1}{3}$×DE×S_△PEF=$\frac{1}{3}$×2×$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積計(jì)算以及線面垂直的性質(zhì)、應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析幾何體的各種位置、距離關(guān)系．