Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求$\frac{AM}{AP}$的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面PAD，進(jìn)一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）取AD中點為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，-1，0），C（2，0，0），進(jìn)一步求出向量$\overrightarrow{PB}、\overrightarrow{PD}、\overrightarrow{PC}$的坐標(biāo)，再求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，由$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞|=|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}|$求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD，設(shè)$\frac{AM}{AP}=λ$，M（0，y₁，z₁），由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP}$可得M（0，1-λ，λ），$\overrightarrow{BM}=（-1，-λ，λ）$，由BM∥平面PCD，可得
$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}=0$，由此列式求得當(dāng)$\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$時，M點即為所求．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD中點為O，連接CO，PO，
∵CD=AC=$\sqrt{5}$，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，-1，0），C（2，0，0），
則$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1），\overrightarrow{PD}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{PC}=（2，0，-1），\overrightarrow{CD}=（-2，-1，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{n}=（{x}_{0}，{y}_{0}，1）$為平面PCD的法向量，
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-{y}_{0}-1=0}\\{2{x}_{0}-1=0}\end{array}\right.$，則$\overrightarrow{n}=（\frac{1}{2}，-1，1）$．
設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，則$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞|=|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}|$=$|\frac{\frac{1}{2}-1-1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}×\sqrt{3}}|=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅲ）解：假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD，設(shè)$\frac{AM}{AP}=λ$，M（0，y₁，z₁），
由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），$\overrightarrow{AP}=（0，-1，1）$，B（1，1，0），$\overrightarrow{AM}=（0，{y}_{1}-1，{z}_{1}）$，
則有$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP}$，可得M（0，1-λ，λ），
∴$\overrightarrow{BM}=（-1，-λ，λ）$，
∵BM∥平面PCD，$\overrightarrow{n}=（\frac{1}{2}，-1，1）$為平面PCD的法向量，
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}=0$，即$-\frac{1}{2}+λ+λ=0$，解得$λ=\frac{1}{4}$．
綜上，存在點M，即當(dāng)$\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$時，M點即為所求．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查了直線與平面所成的角，訓(xùn)練了存在性問題的求解方法，建系利用空間向量求解降低了問題的難度，屬中檔題．