Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，若cos$\frac{π}{3}cosφ-sin\frac{2π}{3}$sinφ=0，且圖象的兩條對稱軸間的最近距離是$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，且f（A）=-1，求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的余弦函數(shù)公式及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，
由題意可求周期為T=π，利用周期公式可求ω，從而可得函數(shù)解析式．
（2）由題意可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，結(jié)合范圍0＜A＜π，可解得A=$\frac{2π}{3}$，從而B+C=$\frac{π}{3}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可將sinB+sinC化為sin（B+$\frac{π}{3}$），結(jié)合范圍0＜B＜$\frac{π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求其取值范圍．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵cos$\frac{π}{3}cosφ-sin\frac{2π}{3}$sinφ=cos（$\frac{π}{3}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，得φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴取k=0，得φ=$\frac{π}{6}$，
∵函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸離一個對稱中心的最近距離是$\frac{π}{4}$，
∴周期為T=π，得ω=$\frac{2π}{T}$=2，得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．…（6分）
（2）由f（A）=-1，得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，
∵A是△ABC的內(nèi)角，0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$，從而B+C=$\frac{π}{3}$．
由sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
∴sinB+sinC=sin（B+$\frac{π}{3}$），…（12分）
∵0＜B＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{3}$）≤1，即sinB+sinC∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
因此，sinB+sinC的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．…（14分）

點評 本題主要考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，周期公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．