Question

6．已知a≥3，函數(shù)F（x）=min{2|x-1|，x²-2ax+4a-2}，其中min（p，q）=$\left\{\begin{array}{l}{p，p≤q}\\{q，p＞q}\end{array}\right.$
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x²-2ax+4a-2成立的x的取值范圍
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a≥3，討論x≤1時，x＞1，去掉絕對值，化簡x²-2ax+4a-2-2|x-1|，判斷符號，即可得到F（x）=x²-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；
（Ⅱ）（i）設(shè)f（x）=2|x-1|，g（x）=x²-2ax+4a-2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定義，可得F（x）的最小值；
（ii）分別對當(dāng)0≤x≤2時，當(dāng)2＜x≤6時，討論F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．

解答 解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1時，
x²-2ax+4a-2-2|x-1|=x²+2（a-1）（2-x）＞0；
當(dāng)x＞1時，x²-2ax+4a-2-2|x-1|=x²-（2+2a）x+4a=（x-2）（x-2a），
則等式F（x）=x²-2ax+4a-2成立的x的取值范圍是[2，2a]；
（Ⅱ）（i）設(shè)f（x）=2|x-1|，g（x）=x²-2ax+4a-2，
則f（x）_min=f（1）=0，g（x）_min=g（a）=-a²+4a-2．
由-a²+4a-2=0，解得a=2+$\sqrt{2}$（負(fù)的舍去），
由F（x）的定義可得m（a）=min{f（1），g（a）}，
即m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，3≤a≤2+\sqrt{2}}\\{-{a}^{2}+4a-2，a＞2+\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
（ii）當(dāng)0≤x≤2時，F(xiàn)（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；
當(dāng)2＜x≤6時，F(xiàn)（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}
=max{2，34-8a}=max{F（2），F(xiàn)（6）}．
則M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{34-8a，3≤a≤4}\\{2，a＞4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，以及二次函數(shù)的最值的求法，不等式的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．