Question

16．若實數(shù)x，y滿足x-y+xy≥2，則|x+y|的最小值是2．

Answer 1

分析 作出曲線（x-1）（y+1）=1的圖象的圖象，由題意可得|x+y|即為曲線上任一點到直線x+y=0的距離的$\sqrt{2}$倍的最小值．可得與曲線相切，且與直線x+y=0平行的直線距離的$\sqrt{2}$倍，求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，求得切點，代入即可得到所求最小值．

解答 解：實數(shù)x，y滿足x-y+xy≥2，
即為（x-1）（y+1）≥1，
作出曲線（x-1）（y+1）=1的圖象，
由題意可得|x+y|即為曲線上任一點到直線x+y=0的距離的$\sqrt{2}$倍的最小值．
可得與曲線相切，且與直線x+y=0平行的直線距離的$\sqrt{2}$倍
設(shè)切點為（m，n），
由y=$\frac{1}{x-1}$-1的導數(shù)為y′=-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
即有切線的斜率為-$\frac{1}{（m-1）^{2}}$=-1，
解得m=2，或m=0（舍去）
切點為（2，0），
則|x+y|的最小值為2，
故答案為：2．

點評 本題考查最值的求法，注意運用導數(shù)求得切點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．