Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的極值，并指出極大值還是極小值；
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）代入a值，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出極值；
（2）代入a值，求出導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，
f'（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f'（x）＞0，f（x）遞增；
∴f（x）的極小值是f（1）=$\frac{1}{2}$，無極大值．
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx，
f'（x）=x$+\frac{1}{x}$＞0，
∴f（x）在[1，e]上遞增，
∴函數(shù)的最大值f（e）=$\frac{1}{2}$e²+1，最小值f（1）=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，和極值的概念，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．