Question

16、設f（x）是定義在R上的奇函數，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（-2）=0，則不等式xf（2x）＜0的解集為

（-1，1）

．

Answer 1

分析：y題意構造函數g（x）=xf （x），再由導函數的符號判斷出函數g（x）的單調性，由函數f（x）的奇偶性得到函數g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（2）=0、還有g（0）=0，再通過奇偶性進行轉化，利用單調性求出不等式得解集．

解答：解：設g（x）=xf（x），則g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函數g（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴g（x）=xf（x）是R上的偶函數，
∴函數g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，
∵f（-2）=0，
∴f（2）=0；
即g（2）=0且g（0）=0f（0）=0，
∴xf（x）＜0化為g（x）＜0，
∵對于偶函數g（x），有g（-x）=g（x）=g（|x|），
故不等式為g（|x|）＜g（2），
∵函數g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，
∴|x|＜2且x≠0，解得-2＜x＜2且x≠0，
故所求的解集為{x|-2＜x＜2且x≠0}．
故選D．

點評：本題考查了由條件構造函數和用導函數的符號判斷函數的單調性，利用函數的單調性和奇偶性的關系對不等式進行轉化，注意函數值為零的自變量的取值．