Question

15．若關(guān)于x的方程x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a（x+$\frac{1}{x}$）+b=0（其中a，b∈R）有實(shí)數(shù)根，則a²+b²的最小值為4．

Answer 1

分析 由已知得關(guān)于x的方程（x+$\frac{1}{x}$）²+a（x+$\frac{1}{x}$）+b-2=0（其中a，b∈R）有實(shí)數(shù)根，令t=x+$\frac{1}{x}$，得-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，由此借助線性規(guī)劃能求出a²+b²的最小值．

解答 解：∵關(guān)于x的方程x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a（x+$\frac{1}{x}$）+b=0（其中a，b∈R）有實(shí)數(shù)根，
∴關(guān)于x的方程（x+$\frac{1}{x}$）²+a（x+$\frac{1}{x}$）+b-2=0（其中a，b∈R）有實(shí)數(shù)根，
令t=x+$\frac{1}{x}$，則t≤-2或t≥2，且f（t）=t²+at+b-2，
要使f（x）=0有實(shí)根，即使f（t）=0在t≤-2或t≥2上有解．
即t²+at+b-2=0在t≤-2或t≥2上有解．
△=a²-4（b-2）≥0，且f（-2）≤0或f（2）≤0
解得-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，
畫出線性規(guī)劃圖形（右圖陰影區(qū)域）：
由題意根號(hào)下$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$表示原點(diǎn)到（a，b）距離
根據(jù)圖形知，原點(diǎn)（0，0）到（a，b）距離最短距離為原點(diǎn)（0，0）到（0，-2）的距離，
其最小距離是d_min=$\sqrt{0+4}$=2，
∴a²+b²的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩實(shí)數(shù)平方和的最小值的求法，是中檔題，解題要認(rèn)真審題，注意換元法和線性規(guī)劃的合理運(yùn)用．