Question

設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對于任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）．且在區(qū)間[2，3]上，f（x）=-2（x-3）²+4．
（1）求的值；
（2）求出曲線y=f（x）在點處的切線方程；
（3）若矩形ABCD的兩頂點A、B在x軸上，兩頂點C、D在函數(shù)y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，求這個矩形面積的最大值．

Answer 1

解：（1）∵任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），函數(shù)周期為2，
對設0≤x≤2，2≤x+2≤4，
可得f（x）=f（x+2）=-2（x-1）²+4，
∴=-2（-1）²+4=；
（2）曲線y=f（x）在點（，-），f′（x）=-4（x-3），可以k=f′（）=-4（-3）=6，
∴曲線y=f（x）在點處的切線方程，
y-（-）=6（x-），化簡得，y=6x-；
（3）矩形ABCD的兩頂點A、B在x軸上，
兩頂點C、D在函數(shù)y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，
可以設C（x₂，y₂），D（x₁，y₁），x₂＞x₁，A的橫坐標為x₁，B的橫坐標為x₂，
可知f（x）在區(qū)間[0，2]上，f（x）=f（x+2）=-2（x-1）²+4，
∵C（x₂，y₂），D（x₁，y₁），
∴矩形的面積為S=（x₂-x₁）y₁=（x₂-x₁）[-2（x-1）²+4]，
∵x₁+x₂=2，可得x₂=2-x₁，0＜x₁＜1，
∴S=（x₂-x₁）[-2（x-1）²+4]=（2-x₁）[-2x₁²-2+4x₁+4]=（2x₁-2）（2x₁²-4x₁-2）=4x₁³-12x₁²+4x₁+4
∴S′=12x₁²-24x₁+4=4（3x₁²-6x₁+1）=0，
∴x₁==1±，
當x＞1+或x＜1-時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當1-＜x＜1+時，f′（x）＜0，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在x=1-處取得極大值也是最大值，
∴f（x）_max=f（1-）=[2-2（1-）][-2（1--1）²+4]==，
∴這個矩形面積的最大值為：；
分析：（1）根據(jù)對于任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）可以求得函數(shù)周期為2，再由f（x）在區(qū)間[2，4]上，f（x）=-2（x-3）²+4上的解析式，求出函數(shù)在[0，2]上的解析式，直接代入求解；
（2）求出點，對f（x）進行求導，根據(jù)導數(shù)與斜率的關系，求出直線的斜率，從而根據(jù)點斜式求出切線方程；
（3）已知矩形ABCD的兩頂點A、B在x軸上，兩頂點C、D在函數(shù)y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，可以求出直線在[0，2]上的解析式，設出A，B兩點，根據(jù)矩形面積公式代入求出S，再利用導數(shù)求其最大值；
點評：此題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程以及函數(shù)周期性的利用，此題是一道中檔題，計算量比較大，考查學生的計算能力．