Question

某校為了了解新的一輪數(shù)改墨水有效性的“認可度”，在全校師生（可認為很多人）進行了“認可度”的問卷調查，現(xiàn)隨機抽查50名師生，對他們的“認可度”的問卷調查，現(xiàn)隨機抽查50名師生，對他們的“認可度”統(tǒng)計分析得如圖：
（1）求這50名師生的“認可度”的平均值（每一區(qū)間取中點值計算）；
（2）求從這50名師生中任取一人的“認可度”的分數(shù)在60（含）分以上的概率；
（3）以這50名師生的“認可度”來估計全校師生總體“認可度”的評價，若從中隨機抽取4人的“認可度”，用ξ表示抽到的“認可度”分數(shù)在60（含）分以上的人數(shù)，求ξ的分布列與整數(shù)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖和平均數(shù)的求法求出50名師生的“認可度”的平均值即可．
（2）由頻率分布圖知這50名師生中“認可度”的分數(shù)在60（含）分以上的人數(shù)為40人，由此能求出這50名師生中任取一人的“認可度”的分數(shù)在60（含）分以上的概率．
（3）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列與整數(shù)期望．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖，得：

.

x

=

1

50

（10×1+30×4+50×5+70×33+90×7）=66.4．
∴這50名師生的“認可度”的平均值為66.4．
（2）由頻率分布圖知：
這50名師生中“認可度”的分數(shù)在60（含）分以上的人數(shù)為：33+7=40人，
∴這50名師生中任取一人的“認可度”的分數(shù)在60（含）分以上的概率為：
P=

40

50

=

4

5

．
（3）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C 4 10

C 4 50

=

21

23030

，
P（ξ=1）=

C 1 40 C 3 10

C 4 50

=

48

2303

，
P（ξ=2）=

C 2 40 C 2 10

C 4 50

=

351

2303

，
P（ξ=3）=

C 3 40 C 1 10

C 4 50

=

988

2303

，
P（ξ=4）=

C 4 40

C 4 50

=

9139

23030

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	21 23030	48 2303	351 2303	988 2303

Eξ=0×

21

23030

+1×

48

2303

+2×

351

2303

+3×

988

2303

≈2．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．